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1.5 Funções de domínio real

Função 

A palavra função remete ao conceito de dependência, no dia a dia. Ela é uma relação entre quantidades. Se o valor da primeira quantidade determinar exatamente o valor de uma segunda quantidade, diz-se desta uma função da primeira. Assim, formulamos a seguinte definição:

Uma função é uma regra que toma certos números como entradas e atribui a cada número de entrada exatamente um número de saída. A saída é uma função da entrada.
As entradas e saídas também são denominadas variáveis.
Uma função é frequentemente definida apenas para certos valores da variável independente [variável de entrada]. A variável dependente [variável de saída] por muitas vezes assume apenas alguns valores. Assim, define-se:

Se Q = f(t)
  • O domínio de f é o conjunto dos valores de entrada, t, que geram um valor de saída.
  • A imagem de f é o conjunto correspondente aos valores de saída, Q. 

Logo, a entrada de uma função é seu domínio e sua imagem é a saída.

Exemplos de funções podem ser vistas no gráfico abaixo. Ative-as clicando nos quadrados em branco. As funções são o conteúdo base dos Cálculos Diferenciais e Integrais e possuem diversas aplicações em todos os ramos da ciência, especialmente nas engenharias.
Fonte: GeoGebra Tube


Funções definidas por partes

Como o próprio nome já diz, é uma função seccionada. Isso porque ela é definida por uma ou várias condições. Por exemplo, f(x) = 5x somente quando x ≤ 0. Caso contrário (x > 0), f(x) = x². Podem existir várias condições, dependendo da situação. Essa função pode modelar algumas situações na prática bem comuns, como preços de estacionamento ou promoções-relâmpago de lojas.

 No gráfico abaixo você pode explorar uma função definida por partes genérica. Altere os valores do intervalo real [a, b]. 
Autor: João Cruz

Funções modulares

Para definirmos essa função, é necessário lembrar da definição do módulo:
|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{se }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{se }}a<0.\end{cases}}

Isso garante que a nunca será negativo, já que estamos interessados apenas no seu valor escalar (módulo).

 Na prática, a sentença acima nos diz que: (inequação modular)
|a| < b quando b estiver entre -a e a;
|a| > b quando b < -a ou b > a;


Nem todas as curvas são gráficos de funções!

Curvas cônicas, em geral, não são funções pois não passam no chamado teste da reta vertical, um artifício rápido e prático para verificar se uma curva é ou não uma função. Cada elemento do domínio deve possuir apenas uma imagem, ou seja, um valor de x não pode gerar dois valores de y distintos, de acordo com a definição de função. Observe abaixo: