Por exemplo, se buscamos percorrer uma distância fixa, digamos k quilômetros, com velocidade constante, a relação entre a velocidade e o tempo é .
Funções desse tipo são casos particulares do que denominamos funções racionais (quociente de funções polinomiais).
Analisemos o gráfico da função racional "básica" :
Essa curva é formada por dois ramos, ilustrando o que denominamos descontinuidade essencial infinita, que manifesta a presença de uma assíntota horizontal (y = 0) e uma assíntota vertical (x = 0). Essas assíntotas são as retas das quais o gráfico de se aproxima, à medida que tornamos os valores de x próximos a zero.
Estamos aqui nos referindo aos chamados limites laterais.
Neste exemplo, temos que ambos os limites laterais não existem, pois a função cresce sem parar tanto para valores de x tendendo a zero pela esquerda, quanto pela direita.
Figura 2. Variações na função racional básica. Da esquerda para a direita, . Clique para ampliar cada imagem.
De maneira geral, dizemos que se, para um número N > 0, existe f > 0 tal que se |x - a| < f, então f(x) > N.
Geometricamente, dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das afirmativas a seguir for verdadeira:
De maneira geral, sendo :
- Haverá translação vertical para cima, se D > 0.
- Haverá translação vertical para baixo, se D < 0.
3) Contração e expansão;
Seja :
- Se A > 1, então a função se afasta da respectiva assíntota horizontal;
- Se 0 < A < 1, então a função se aproxima da respectiva assíntota horizontal;
3.1 Contração e expansão com reflexão;
A ideia é a mesma, porém, há o reflexo da função devido ao sinal. Veja:
Seja :
- Se A < -1, há reflexão e distanciamento da respectiva assíntota horizontal;
- Se -1 < A < 0, há reflexão e aproximação da respectiva assíntota horizontal;
Podemos aplicar esses efeitos gráficos no estudo de limites. Vejamos alguns exemplos:
Efeitos gráficos em
Como apresentado no estudo de funções polinomiais, podemos alterar a lei da função por meio da utilização de determinados parâmetros, provocando alterações no gráfico como mostrados a seguir:
1) Translações horizontais (modifica-se a assíntota vertical);
- Haverá translação horizontal para a direita, se c < 0.
- Haverá translação horizontal para a esquerda, se c > 0.
2) Translações verticais (modifica-se a assíntota horizontal);
De maneira geral, sendo :
- Haverá translação vertical para cima, se D > 0.
- Haverá translação vertical para baixo, se D < 0.
3) Contração e expansão;
Seja :
- Se A > 1, então a função se afasta da respectiva assíntota horizontal;
- Se 0 < A < 1, então a função se aproxima da respectiva assíntota horizontal;
3.1 Contração e expansão com reflexão;
A ideia é a mesma, porém, há o reflexo da função devido ao sinal. Veja:
Seja :
- Se A < -1, há reflexão e distanciamento da respectiva assíntota horizontal;
- Se -1 < A < 0, há reflexão e aproximação da respectiva assíntota horizontal;
Podemos aplicar esses efeitos gráficos no estudo de limites. Vejamos alguns exemplos:
Observe que
Ao expressarmos a função desse modo, identificamos uma sequência de efeitos gráficos:
i) translação da função uma unidade para a direita;
ii) multiplicação por um fator 5;
iii) translação vertical da função duas unidades para cima.
Graficamente, teríamos:
A reta x = 1 é assintótica à curva pois o valor 1 não está no domínio da função. Dessa forma, se x se aproxima de 1, temos:
Percebemos, também, que a função possui uma tendência para um valor constante de y. Podemos descobrir, então, sua assíntota horizontal com a seguinte manipulação algébrica:
Há dois efeitos gráficos que podemos identificar na lei da função:
i) translação de 2 unidades para a direita;
ii) reflexão em relação ao eixo x devido ao fator -1 multiplicando.
A assíntota vertical da curva fica é a reta x = 2, pois observamos que:
E a assíntota horizontal permanece a reta y = 0, pois:
Nesse caso não é possível, diretamente pela expressão, identificar todos os efeitos gráficos.
Essa função tem assíntotas verticais em x = -2 e x = 3, uma vez que nesses valores o denominador da função torna-se zero (e o numerador é constante, não dependendo de x).
Em x = -2, o valor do fator (x - 3)² é (-2 - 3)² = 25. Logo, próximo de x = -2, a função assemelha-se ao gráfico de
Assim,
Próximo de x = 3, temos:
Assim,
Figura 5. Gráfico de e suas características. Em vermelho, as assíntotas x = -2 e x = 3. O ponto A é a intersecção da curva com o eixo y, ou seja, quando x = 0, y = 25/18 ≅ 1,39.
Integrais cujos integrandos têm descontinuidades infinitas
Se f é contínua em [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em a, a integral imprópria de f em [a, b] é definida por:
Como o limite existe, dizemos que a integral converge e o limite é definido como o valor da integral. Caso não exista, dizemos que a integral diverge.
Para uma descontinuidade infinita em b, a definição é:
Resolvendo a integral e aplicando o limite:
Questões para estudo deste conteúdo