Regra de derivação de um produto
Considere y = f(x) . g(x), ou seja, o produto das funções f(x) e g(x).
Considere y = f(x) . g(x), ou seja, o produto das funções f(x) e g(x).
A análise desse limite envolve uma técnica nova, que é somar e subtrair a quantidade f(x+h)g(x) no numerador. Depois, coloca-se f(x+h) e g(x) em evidencia, ficando com:
Aplicando a propriedade do limite de uma soma e depois de um produto:
Dessa forma:
(f . g)'(x) = f(x).g'(x) + g(x) . f '(x)
Note que a derivada de um produto não é, então, o produto das derivadas.
Da mesma forma, a derivada de um quociente entre funções não é o quociente das derivadas (Sobre essa regra de derivação, veja vídeo aqui)
Vídeo complementar sobre regras de derivação
Da mesma forma, a derivada de um quociente entre funções não é o quociente das derivadas (Sobre essa regra de derivação, veja vídeo aqui)
Vídeo complementar sobre regras de derivação
Derivação de composições
Como y = y1 . y2, então:
y' = 6.(2x + 5)²
Note que y = (2x + 5)³ pode ser escrito como um composto de funções mais simples que sabemos derivar! Formalmente:
y = f(u(x)) ou y = (f o u)(x)
onde f(x) = x³ e u(x) = 2x + 5
Como f '(x) = 3x² e u'(x) = 2, podemos observar que:
ou seja, as derivadas se multiplicam.
Esse resultado exemplifica um algoritmo geral para derivação de funções compostas, conhecido como Regra da Cadeia.
Vídeo complementar sobre Regra da Cadeia
Veja uma aplicação da Regra da Cadeia em um contexto aplicado.
Vídeo complementar sobre Regra da Cadeia
Veja uma aplicação da Regra da Cadeia em um contexto aplicado.
"Desfazendo" a Regra da Cadeia: a integração por substituição simples
Os exemplos a seguir envolvem casos nas quais o integrando pode ser reconhecido aproximadamente na forma f’(u(x))u’(x). Por meio de substituições convenientes, integrais desse tipo podem ser convertidas em integrais imediatas.
Exemplo 1 Calcular 
:
:
Tomando u = x² + 1, então du/dx = 2x o que implica que du = 2xdx. Assim, pode-se reescrever a integral como:
Exemplo 2 Calcular 
:
:
Substituindo x por u:
Então:
Exemplo 3: O cálculo de integrais que envolvem examinar a regra da cadeia do ponto de vista da antiderivada apareceu em diversas aplicações de integrais já estudadas. Por exemplo, para determinar a área superficial do sólido gerado pela rotação da parte da curva y = x³ no intervalo [1,3], em torno do eixo x, precisamos resolver a seguinte integral:
A determinação do comprimento de arco de curva 
no intervalo [0,4] leva à integral:
no intervalo [0,4] leva à integral:
Em ambos os casos os integrandos envolvem expressões que podem ser escritas da forma f(u(x)) e, por meio de uma substituição conveniente, convertidas em integrais imediatas. Assim, por exemplo, tomando 
no cálculo da segunda integral exibida acima, podemos escrever que 
. Note ainda que, se x = 0, u = 1 e se x = 4, u = 10, de modo que a integral pode ser reescrita como:
Em geral, a aplicação deste método será eficiente se no integrando tivermos alguma composição f(u(x)) para a qual a substituição u = g(x) e du = g'(x)dx produza uma integral expressa inteiramente em termos de u e du e, claro, que saibamos resolver!
No caso da primeira integral, resultante do cálculo da área superficial, podemos tomar:
Para x = 1, u = 10 e para x = 3, u = 730. Daí, reescrevemos a integral como:
no cálculo da segunda integral exibida acima, podemos escrever que 
. Note ainda que, se x = 0, u = 1 e se x = 4, u = 10, de modo que a integral pode ser reescrita como:
Em geral, a aplicação deste método será eficiente se no integrando tivermos alguma composição f(u(x)) para a qual a substituição u = g(x) e du = g'(x)dx produza uma integral expressa inteiramente em termos de u e du e, claro, que saibamos resolver!
No caso da primeira integral, resultante do cálculo da área superficial, podemos tomar:
Para x = 1, u = 10 e para x = 3, u = 730. Daí, reescrevemos a integral como:
Questões para estudo deste conteúdo
